Rumus Gradien Persamaan Garis Lurus dan Cara Menentukannya

Table of Contents

Salah satu materi yang diajarkan pada pelajaran Matematika kelas 8 adalah Persamaan Garis Lurus. Konsep ini membantu kamu untuk memahami bagaimana sebuah garis dapat direpresentasikan secara matematis melalui suatu persamaan, atau sebaliknya.

Salah satu komponen penting dalam materi ini adalah gradien. Gradien menentukan kemiringan suatu garis. Gradienlah yang menentukan arah sebuah garis, baik itu ke kanan, kiri, serong kanan, serong kiri, atas, bawah, dan masih banyak lagi.

Apa itu Gradien?

Secara matematis, gradien adalah angka yang menunjukkan arah dan kecuraman suatu garis. Tetapi secara sederhana, gradien adalah nilai yang menunjukkan kemiringan suatu garis. Gradien umumnya disimbolkan dengan $m$. 

Arah suatu garis umumnya dapat ditentukan dengan melihat gradiennya, seperti pada penjelasan di bawah ini:

1. Garis yang arahnya naik dari kiri bawah ke kanan atas, gradiennya positif.
2. Garis yang arahnya naik dari kanan bawah ke kiri atas, gradiennya negatif.

Rumus Gradien

Gradien Garis Lurus yang Melewati Titik $A(x{_1},y{_1})$ dan $B(x{_2},y{_2})$

Rumusnya adalah: $m = \frac{{y}_2-{y}{_1}}{x{_2}-x{_1}}$

Nah, nggak perlu bingung. Di sini artinya ada dua buah titik $A(x{_1},y{_1})$ dan $B(x{_2},y{_2})$. Saat dihadapkan pada soal, kamu bebas memilih yang mana yang kamu mau jadikan titik A (dengan $x{_1}$ dan $y{_1}$) dan yang mana yang kamu mau jadikan titik B (dengan $x{_2}$ dan $y{_2}$).

Setelahnya, kurangkan $y{_2}$ (pada titik B yang kamu pilih) dengan  $y{_1}$ (pada titik A yang kamu pilih). Begitu juga dengan $x{_2}$ dan $x{_1}$. Bagilah hasil dari pengurangan pertama (pengurangan nilai $y$) dengan hasil dari pengurangan kedua (pengurangan nilai $x$).

Contoh Soal

Tentukan gradien persamaan garis yang melalui titik $A(2, 3)$ dan $B(5, 7)$!

Kita perlu mengidentifikasi dulu titik-titik yang ada pada soal.

$x{_1} = 2, x{_2} = 5$

$y{_1} = 3, y{_2} = 7$

Setelahnya, kita bisa masuk ke rumus. 

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{{y}_2-{y}{_1}}{x{_2}-x{_1}} \\ & = & \frac{7-3}{5-2} \\  & = & \frac{4}{3} \\ \end{array}$

Jadi, gradien persamaan garis di atas adalah $\frac{4}{3}$.

Gradien Bentuk $ax + by + c = 0$

Beberapa persamaan garis ada yang membentuk pola $ax + by + c = 0$. Misalnya, persamaan garis $10x - 5y + 6 = 0$. Atau, bisa pula divariasi konstanta (angka yang tidak bervariabel) ada pada ruas kanan. Misalnya, persamaan garis $10x - 5y = -6$.

Rumus gradien bentuk ini adalah: $-\frac{a}{b}$, dimana $a$ adalah koefisien variabel $x$ dan $b$ adalah koefisien variabel $y$. Untuk pengingat, koefisien adalah angka di depan variabel (huruf).

Contoh Soal

Perhatikan kembali persamaan $10x - 5y + 6 = 0$. Kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa angka di depan $x$ (koefisien $x$ = $a$) adalah $10$ dan angka di depan $y$ (koefisien $y$ = $b$) adalah $-5$. Maka gradien dapat kita hitung:

$\begin{array}{rcl} m & = & -\frac{a}{b} \\ & = & -\frac{10}{-5} \\  & = & -(-2) \\  & = & 2 \end{array}$

Mudah, kan?

Gradien bentuk $y = mx + c$

Ini cara paling gampang buat nyari gradien, karena gradiennya sudah jelas $m$ atau angka di depan variabel x! Tapi jangan lupa buat perhatikan koefisien variabel y, ya!

Contoh Soal

Misalkan kita mau mencari gradien persamaan $2y = 10x + 6$. Perhatikan kalau di depan variabel $y$ masih ada koefisien berupa angka $2$ sehingga kedua ruas perlu kita bagi $2$ terlebih dahulu. Kita mendapatkan persamaan $y = 5x + 3$.

Maka, dari persamaan $y = 5x + 3$, sudah jelas bahwa gradiennya adalah $5$.

Latihan Soal Mandiri

a. Tentukan gradien dari garis yang melewati titik:

1. $M(-3, 5)$ dan $N(1, 1)$
2. $O(2, 3)$ dan $P(4, 7)$
3. $Q(-5, -2)$ dan $R(-1, -6)$

b. Tentukan gradien dari persamaan garis:

1. $2y = 4x + 6$
2. $3x - 6y + 9 = 0$
3. $y + 2 = -\frac{1}{3}(x - 6)$
4. $5x + 2y = 10$
5. $y - 4 = 2(x + 1)$

Kunci Jawaban

Bagian A

1. $-1$
2. $2$
3. $-1$

Bagian B

1. $1$
2. $\frac{1}{2}$
3. $-\frac{1}{3}$
4. $-\frac{5}{2}$
5. $2$

Penutup

Nah, sudah paham belum cara menentukan gradien? Jika masih ada yang bingung, jangan ragu untuk bertanya di kolom komentar, ya. Atau, kamu punya tips lain dalam menghitung gradien? Yuk, share di kolom komentar!

Ilustrasi foto oleh Karolina Grawboska dari Pexels.